Note sur le calcul différentiel stochastique

This is a survey article on the use of stochastic calculus in finance. The various categories of diffusion processes are presented first. Then, it is shown that the standard rule of differential calculus is not applicable to functions of random processes and must be replaced by Itô's lemma. The probability distribution of a diffusion process evolves according to laws known as Kolmogorov equations; there are derived next. The most fruitful application of these tools to our field has dealt with the evaluation of long term bonds in the presence of random interest rates. This application is reviewed in detail.

Il s'agit ici d'une étude de synthèse sur l'utilisation du calcul différentiel stochastique en finance. Les différentes catégories de processus de diffusion sont tout d'abord présentées. Puis on montre que les règles habituelles de calcul différentiel ne s'appliquent pas aux fonctions de processus aléatoires et qu'elles doivent être remplacées par le lemme d'Itô. La distribution de probabilité d'un processus de diffusion évolue selon des lois connues sous le nom d' « équations de Kolmogorov »; elles sont dérivées ensuite. L'application la plus fructueuse de ces outils à notre domaine a concerné l'évaluation des obligations dans un univers où les taux d'intérêt sont aléatoires. Cette application fait l'objet d'une revue détaillée.