Mean-Variance Asset Allocation for Long Horizon

We investigate whether mean-variance portfolio theory can produce the conventional wisdom that investors with long horizons should make a large initial allocation to stocks and then decrease the allocation as time passes. For the case of a risk-free asset and a stock index following geometric brownian motion, we derive closed-form solutions for the meanvariance portfolio problem allowing continuous rebalancing based on realized prices and wealth (called a stochastic strategy). This optimal stochastic strategy is in general a conventional wisdom strategy as it involves large initial allocation to stocks which then decreases with time. We relate this strategy to the concave strategies described by Perold and Sharpe and explain the role played by relative risk aversion in this result. We also derive the optimal deterministic strategy (predetermined schedule of weights, independent of new price and wealth realizations) and find it to be a constant-weight strategy.

La théorie de portefeuille moyenne-variance permet-elle d'expliquer l'adage financier disant qu'un investisseur avec un horizon éloigné doit investir initialement une part importante en actions pour ensuite réduire celle-ci progressivement ? Nous trouvons des solutions explicites au problème de portefeuille moyenne-variance lorsqu'une gestion dynamique en temps continu basée sur les nouvelles réalisations de prix et de richesse (appelée stratégie stochastique) est autorisée et que les actifs négociés se composent d'un actif sans risque et d'un indice de marché dont le prix est supposé satisfaire un mouvement brownien géométrique. La stratégie stochastique optimale répond au conseil financier donné habituellement, débutant avec une allocation initiale importante en actions, décroissante avec le temps. Nous associons cette stratégie avec les stratégies concaves comme décrites dans l'article de Perold et Sharpe et nous expliquons le rôle joué par le coefficient relatif d'aversion vis-à-vis du risque dans ce résultat. Nous explicitons également la stratégie optimale déterministe (correspondant à des poids exprimés comme des fonctions déterministes, indépendantes des nouvelles réalisations de prix et de richesse) et nous prouvons que celle-ci est une stratégie à poids constants.