Pricing insurance via stochastic control: Optimal consumption and terminal wealth

An expected utility approach was recently introduced by Young and Zariphopoulou (2001) for the pricing of dynamic insurance risks. The valuation method is based on comparing the maximal expected utility functions with and without incorporating the insurance product; it is the dynamic analog to the principle of equivalent utility used in pricing static risks. In this paper, we generalize this work in two directions. First, instead of simply maximizing the expected utility of terminal wealth, we also allow for maximizing consumption during the investment period. The investment period is either fixed or random until the time of death of the insured. When making financial decisions, individual who wishes to consume more might spend less on insurance, but on the other hand, she might actually spend more in the future. Second, instead of considering a risky asset follows a geometric Brownian motion, we allow for risky assets that follow a diffusion process with general dynamics, as in Zariphopoulou (1999). This more general structure allows for models of statement stochastic volatility and mean-reverting processes.

Une approche de type utilité espérée a été récemment introduite par Young et Zariphopoulou (2001) pour l'évaluation du risque assurantiel. La méthode d'évaluation est basée sur la comparaison des utilités espérées maximales obtenues en incorporant ou non le produit d'assurance. C'est la version dynamique du principe de l'équivalent certain utilisée dans l'analyse mono-périodique du risque. Dans cet article cette extension est faite dans deux directions. D'abord, au lieu de considérer simplement la maximisation de l'utilité espérée de la richesse finale, celle de la consommation durant la période d'investissement est également prise en compte. L'horizon de gestion peut être soit certain soit aléatoire. En matière de décisions financières les individus mettent en balance des demandes concurrentes : par exemple, un individu qui désire consommer davantage pourrait dépenser moins pour s'assurer, mais, d'un autre côté, pourrait aussi augmenter ses assurances afin de protéger ses actifs pour pouvoir consommer plus dans le futur. Ensuite, au lieu de modéliser les prix des actifs par des mouvements browniens géométriques, des diffusions générales sont considérées. Ce cadre permet d'incorporer des modèles à volatilité stochastique et de considérer des processus avec retour vers la moyenne.